Региональный этап всероссийской олимпиады школьников ВОШ по Математике (Эйлера) 2020-2021 ответы и задания

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников ВОШ по Математике (Эйлера) 2020-2021 ответы и задания ВОШ Региональный этап ответы и задания для 8, 9, 10, 11 классов олимпиады по математике региональный этап 2020-2021 всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ). Олимпиада проходит во всех школах регионах России 05-06 февраля 2021 г.

Скачать задания и ответы 9-11 класс 1 тур
Скачать задания и ответы 9-11 класс 2 тур
Скачать задания 8 класс 1 тур (ответы)
Скачать задания 8 класс 2 тур (ответы)

Смотреть Онлайн

Смотреть Онлайн

Некоторые интересные задания:

9.1. Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. За-тем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть пало-чек в два цвета: три самых коротких — в ж¨елтый цвет, а три остальных — в зеленый. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из тр¨ех желтых палочек, а другой — из трех зеленых?

Ответ. Нет, не обязательно.
Решение. Если, например, у Иа-Иа были два равных треугольника со сторонами 1, 2, 2, то в первой кучке окажутся палочки с длинами 1, 1, 2, из которых треугольник составить нельзя.

9.4. Окружности Ω и ω касаются друг друга внутренним образом в точке A. Проведем в большей окружности Ω хорду CD, касающуюся ω в точке B (хорда AB не является диаметром ω). Точка M — середина отрезка AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника CMD, проходит через центр ω. (П. Бибиков)

Первое решение. Обозначим через O центр окружности ω. Проведем через точку A общую касательную к нашим окружностям; пусть она пересекает прямую CD в точке P . Поскольку P A = P B, точка P лежит на серединном перпендикуляре к от-резку AB, который также проходит через точки M и O. Поскольку AM — высота в прямоугольном треугольнике P AO, имеем P M · P O = P A2. С другой стороны, по свойству касательной и секущей имеем P A2 = P C · P D. Значит, P M · P O = P C · P D. Это и означает, что точки C, D, O и M лежат на одной окружности.

10.1. Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть пало-чек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?
(Л. Емельянов)
Ответ. 1) Да, обязательно. 2) Нет, не обязательно. Решение. 1) Пусть a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 — данные
длины палочек. Так как a1 входила в треугольник с некоторыми двумя другими палочками, то a1 меньше их суммы, а следовательно, меньше чем сумма двух самых длинных из оставшихся палочек: a1 < a2 + a3. Так как a1 > a2 и a1 > a3, выполнение неравенства a1 < a2 +a3 достаточно для того, чтобы из палочек a1, a2, a3 можно было составить треугольник.
2) Пусть изначально были два равных треугольника со сторонами 1, 3, 3 и 1, 3, 3. Тогда в группе самых коротких пало-чек окажутся палочки 1, 1, 3, из которых треугольник составить нельзя

10.5. Петя и Вася играют на доске 100 × 100. Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в черный цвет одну или
несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит
в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих под-ряд по вертикали. (На рисунке справа показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске 4 × 4.) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ. Выигрывает Петя.
Решение. Приведем одну из возможных выигрышных
стратегий для Пети. Он вс¨е время будет делать ходы, параллельные одной из диагоналей доски (назовем ее главной). Первым ходом Петя закрасит все клетки главной диагонали. После этого доска разбивается на две одинаковых ¾лесен-ки¿ (см. рис. 6). Мысленно сделаем каждую лесенку симметричной относительно вертикальной прямой, сдвинув в ней каждый горизонтальный ряд, кроме первого, на пол-клетки относительно предыдущего ряда (см. рис. 7).

11.1. Натуральное число, большее 1000000, дает одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?

Ответ. 0 или 5.
Решение. Пусть n — данное число, t — его остаток от деле-
ния на 40 и от деления на 625. Тогда число n − t делится на 40 и на 625, то есть делится на НОК (40; 625) = 5000. Значит, разность n − t оканчивается либо на 5000, либо на 0000. А остаток t < 40. Поэтому цифра в разряде тысяч может быть 0 или 5. Обе ситуации возможны, такие цифры имеют, например числа 20210000 и 20215000 (оба этих числа имеют остатки 0 при делении на 40 и на 625).

11.3. На оси Ox отметили точки 0, 1, 2, . . . , 100 и нарисовали графики 200 различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой y = −1. Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все 19900 чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число 39699?

11.4. Треугольная пирамида SABC вписана в сферу Ω. Докажите, что сферы, симметричные Ω относительно прямых SA, SB, SC и плоскости ABC, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой ` – это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой.

Вам будет интересно:

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников ВОШ по ОБЖ 2020-2021 ответы и задания


* Олимпиады и конкурсы
* Готовые контрольные работы
* Работы СтатГрад
* Официальные ВПР

Поделиться:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *